Obiettivo matematica

I paradossi della probabilità


«Regola del 50-50-90: ogni volta che hai una probabilità del 50-50 di fare la cosa giusta, c’è una probabilità del 90% di farla sbagliata».
Tutti noi pensiamo di avere ben chiaro il concetto di probabilità, mentre in realtà finiamo per farci trarre in inganno dai paradossi più banali. Il nostro pessimo intuito in questo ambito spiega perché continuiamo a giocare alla lotteria anche quando la probabilità di morire prima dell’estrazione è superiore a quella di vincere e perché ci meravigliamo di fronte alle coincidenze anche quando non sono poi così improbabili; è il motivo per cui i casinò faranno sempre un sacco di soldi e i concorrenti continueranno a perdere nei giochi a premi. Aspetti bizzarri della teoria delle probabilità, d’altro lato, ci stanno aiutando a contrastare la corruzione nelle banche e nei sistemi elettorali.


Per la maggior parte di noi, nelle questioni legate alla probabilità l’istinto è talmente forte da contrastare qualsiasi preparazione matematica. Riuscirai a evitare di cadere nella trappola dei paradossi della probabilità?

LE DIECI COSE DA SAPERE
1. Perché non vinciamo mai alla lotteria
Per vincere alla lotteria nazionale inglese, bisogna scegliere correttamente 6 numeri su 59. A prima vista non sembra difficile, dopotutto 6 su 59 sembra circa 1 su 10... Purtroppo, non è questa la probabilità di vincita. Quanti modi diversi ci sono di scegliere 6 numeri su 59? Ci sono 59 possibilità per il primo numero, 58 per il secondo, ecc., fino a 54 per il sesto; questo ci dà 59 × 58 × 57 × 56 × 55 × 54, pari a circa 32 miliardi di combinazioni possibili. Dato che l’ordine della scelta non importa, dividiamo per il numero di modi in cui si possono disporre sei numeri (720) e scopriamo che ogni settimana esistono circa 45 milioni di modi diversi di scegliere i numeri della lotteria, uno soltanto dei quali è giusto. Se, però, ogni settimana giocano alla lotteria 45 milioni di persone, è molto probabile che qualcuno di loro vinca.

2. Il paradosso del compleanno
Il paradosso del compleanno chiede quante persone devono trovarsi nella stessa stanza perché sia probabile che due di loro compiano gli anni lo stesso giorno. La maggior parte di noi fa il seguente ragionamento: in un anno ci sono 365 giorni, pertanto ci devono essere 365/2 ossia circa 183 persone prima che le probabilità siano favorevoli. Come per la lotteria, invece, occorre chiedersi quanti sono i possibili modi di accoppiare le persone; a noi infatti non interessa un giorno in particolare, ma solo che due persone condividano il compleanno. Se nella stanza ci sono 10 persone, ci sono 55 coppie possibili. Con 23 persone ci sono già così tanti modi diversi di accoppiarle che la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno è superiore al 50%.

3. Perché le coincidenze ci sorprendono
Tendiamo a sovrastimare la probabilità di vincere alla lotteria perché confondiamo la probabilità che abbiamo noi di vincere con quella che qualcuno vinca. Questo fenomeno funziona al contrario con le coincidenze, dove sottostimiamo le probabilità che qualcosa accada perché siamo troppo concentrati sui dettagli. Per esempio, stiamo pensando a una certa persona e all’improvviso questa stessa persona ci telefona: qual era la probabilità che ci telefonasse proprio mentre stavamo pensando a lei? Si tratta di telepatia? Probabilmente no. Se pensiamo a tutti i nostri amici, e a tutte le telefonate che riceviamo da loro, e al fatto che non ci soffermiamo mai a pensare a tutte le volte in cui abbiamo pensato a un amico che non ci ha telefonato in quell’istante, vediamo che è probabile che a un certo punto una coincidenza di questo tipo si verifichi, anche se la probabilità che succeda proprio in un momento specifico è piccola.

4. Il problema di Monty Hall
Nel gioco a premi americano Let’s Make a Deal, il conduttore Monty Hall mostrava a un partecipante tre porte: dietro una di esse c’era un’automobile, dietro le altre due c’erano due capre. Il partecipante sceglieva una porta; a questo punto, Monty apriva una delle altre due, rivelando una capra. Quindi il partecipante poteva scegliere se mantenere la propria scelta iniziale o cambiare porta scegliendo l’altra rimasta chiusa. Qual è la strategia migliore, cambiare, non cambiare oppure non c’è differenza? In genere pensiamo che, essendoci due porte ancora chiuse, ci sia una probabilità 50-50 di trovare l’automobile e che non ci sia alcuna differenza tra cambiare e non cambiare porta. Paradossalmente, invece, il partecipante può raddoppiare le chance di vincere l’automobile cambiando porta: la probabilità di scegliere la porta giusta sin dall’inizio, infatti, era di 1 su 3, di conseguenza la probabilità che la porta giusta sia in realtà l’altra è diventata pari a 2 su 3.

5.Il paradosso dei due bambini
Un giorno, a una festa, incontri una signora che ti dice di avere due figli; più tardi, ti rivela che uno di loro è un maschio. Qual è la probabilità che anche l’altro sia un maschio? Istintivamente pensiamo che il genere del secondo figlio sia indipendente dal fatto che il primo sia maschio e, di conseguenza, che sia equiprobabile che si tratti di un maschio o di una femmina. In realtà, la probabilità che si tratti di una femmina è doppia. Scrivendo M per maschio e F per femmina, potremmo avere MM, MF, FM o FF. Poiché la signora ha almeno un maschio, escludiamo l’opzione FF. Delle tre opzioni restanti, due hanno come secondo figlio una femmina e soltanto una ha un maschio.

6. Il problema del bambino nato di martedì
Se il paradosso dei due bambini non sembrava già abbastanza strano, eccone una variante apparentemente incomprensibile. Nel problema del bambino nato di martedì, la signora alla festa rivela di avere un figlio maschio nato di martedì. Quali sono le probabilità che anche l’altro figlio sia maschio? Anche in questo caso, l’istinto ci direbbe che il giorno della nascita non può essere un’informazione utile per calcolare le probabilità del genere del secondo figlio. Se, però, scriviamo tutte le possibilità per il genere e il giorno di nascita, scopriamo che la probabilità che il secondo figlio sia maschio è pari a 13/27. Paradossalmente, più informazioni abbiamo sul primo figlio, più la probabilità che il secondo sia maschio si avvicina a 1/2, ossia alla nostra risposta istintiva.

7. Come vincere sempre a testa o croce
Scegli una combinazione casuale di tre “testa o croce”, per esempio testa-testa-croce (TTC). A questo punto scelgo anch’io una combinazione. Lanciamo una moneta: la combinazione che esce per prima vince il primo round. Per quanto i lanci di una moneta abbiano risultati completamente casuali, e per quanto ogni sequenza di tre risultati sia equiprobabile, potrò sempre scegliere una combinazione che è probabile si manifesti prima della tua. Il metodo è il seguente: scelgo le prime due opzioni della tua sequenza come le ultime due della mia e, come prima opzione, scelgo l’opposto della tua seconda opzione. Se hai scelto TTC, io sceglierò CTT. In questo caso, la mia scelta fa sì che io abbia una probabilità di vittoria tre volte maggiore della tua; con certe combinazioni posso portarla fino a sette volte. L’idea è che scelgo una combinazione che mi farà vincere se tu non vinci subito al primo round. Se il primo risultato è C, o TC, tu perdi e dovrai di nuovo ottenere due volte testa per avere una chance, ma se succede ciò, si manifesta la sequenza CTT e vinco io.

8. Come mescolare un mazzo di carte
perché siano in ordine casuale (oppure no)
Un mazzo standard contiene 52 carte. Tutti i modi possibili di ordinarle sono 52! = 52 × 51 × 50 × 49..., che è un numero di 68 cifre, dello stesso ordine del numero di molecole contenute nel nostro Universo. Quindi è improbabile che un mazzo in cui le carte sono in ordine veramente casuale abbia già fatto capolino nella storia dell’umanità. Quanto è facile creare un mazzo casuale? Tra i matematici, si pensa che per “randomizzare” un mazzo siano sufficienti sei o sette mescolamenti all’americana (riffle shuffle), dove si divide a metà il mazzo e se ne crea uno nuovo “intersecando” le due pile ottenute. Un bravo prestigiatore, tuttavia, con questo metodo può sfruttare una sorprendente proprietà matematica per imbrogliare il pubblico: quando sovrappone le carte, ne alterna esattamente una di una pila con una dell’altra. Si dimostra che, con otto mescolamenti di questo tipo, mettendo in cima al mazzo sempre la stessa metà, il mazzo torna proprio com’era all’inizio.

9. Un’abbondanza di numeri 1
Quando osserviamo i numeri compresi tra 0 e 99, possiamo notare che dieci fra loro iniziano per 1, dieci per 2, dieci per 3, ecc.: ogni cifra iniziale è equiprobabile. Di conseguenza, sembra paradossale che, nei dati della vita reale, la probabilità che la prima cifra sia 1 è pari a oltre il 30% e la probabilità che sia 2 è pari al 17%, ma che sia un 9 è meno del 5%. Questo strano risultato è chiamato “legge di Benford”, dal nome del fisico americano Frank Benford che lo studiò nel 1938: la distribuzione delle prime cifre dei numeri segue una curva logaritmica, e non lineare. In altre parole, la sequenza di numeri diminuisce per divisioni successive, anziché per sottrazioni successive. L’effetto si nota soprattutto su dati che si estendono su molti ordini di grandezza, come i prezzi del mercato azionario o le superfici dei laghi, piuttosto che su dati che hanno un massimo e un minimo definito, come la taglia delle scarpe o l’altezza.

10. La legge di Benford contro la corruzione
La maggior parte delle persone non conosce la legge di Benford e, quando si trova a falsificare dei dati, si sforza di usare tutte le cifre a disposizione in modo equilibrato. Quando si confrontano dati reali con dati falsificati, la differenza salta all’occhio. Le frodi scoperte usando la legge di Benford sono di molti tipi diversi: appropriazione indebita, false dichiarazioni dei redditi, carte di credito clonate, manipolazione dei numeri di voti durante le elezioni, dati economici falsificati, accordi sui prezzi, attacchi informatici e creazione di “account spam” su Twitter.