Dar la caccia ai numeri

Prefazione

Cara lettrice, caro lettore,
quelli che hai in mano sono enigmi, giochi, problemi, rompicapi... chiamali come preferisci.
Nella primavera del 2016, noi due autori ci siamo conosciuti a Civitavecchia, abbiamo chiacchierato e abbiamo iniziato a scriverci condividendo liste di problemi. E, si sa, i problemi sono come le ciliegie, uno tira l’altro, così ben presto ci siamo trovati ad averne in abbondanza, a tal punto da poterne fare una bella selezione.
Dar la caccia ai numeri è una raccolta di piccole sfide per la mente, nate dal nostro dialogo appassionato, divertito e divertente. Te le proponiamo nella speranza che a risolverli ti diverta tanto quanto noi.
Le abbiamo organizzate in tre gruppi di difficoltà crescente. Prima metterai in moto i neuroni, quindi ti chiederai se ci riesci, infine ti stupirai perché ce l’hai fatta!
C’è poi una quarta sezione, formata da problemi che richiedono piccole o grandi dimostrazioni... per i solutori più abili, direbbero quelli della Settimana Enigmistica.
Le soluzioni che trovi in fondo al volume sono la nostra via per risolvere i problemi. Naturalmente, ne potrai trovare di migliori, di più semplici, di più immediate. Evviva!
Se ti fa piacere, condividile con noi: siamo in rete e sui social. Non dubitiamo che ci troverai senza perderti nel labirinto di internet.
Allo stesso modo, se vuoi condividere con noi problemi originali, belli e curiosi, non hai che da farlo.
Questo è tutto.
Gira pagina, spremi le meningi e... buon divertimento!

Daniele Gouthier e Massimiliano Foschi

PS: naturalmente ci saranno errori. «Ogni libro di matematica ne contiene almeno uno, in ogni edizione» è un postulato che ci vede tutti d’accordo. Per favore, se lo trovi, comunicacelo. Così potremo correggerlo e far spazio a un errore nuovo. Buona caccia!

PPS: i nostri ringraziamenti vanno a Monica Conte, Paolo Dall’Aglio, Salvatore Damantino, Robert Ghattas, Elena Ioli, Paolo Silimbani ed Elena Sternini che, da insegnanti e appassionati di enigmi, giochi, problemi, rompicapi... ci hanno aiutato a rendere migliori queste pagine. Naturalmente, le imperfezioni e le “brutture” che sono rimaste sono solo responsabilità nostra. Loro ne sono del tutto scagionati. Ri-ciao.

3 Un anno... magico?

Eleprof legge in classe un articolo su Bebe Vio, nel quale, tra le altre cose, l’atleta paraolimpica medaglia d’oro alle Olimpiadi di Rio ha dichiarato che «il 2016 è stato un anno magico».
«E come darle torto?» chiede la professoressa ai suoi studenti. «Scrivete le quattro cifre di 2016 e dopo aggiungetene una quinta in modo che la somma sia 13. Poi continuate ad aggiungere una cifra per volta facendo in modo che la somma delle ultime cinque sia sempre 13.
Che cifra c’è al 2016-esimo posto?».

La 2016-esima xifra è 2

La regola dice che dobbiamo scrivere una successione di cifre in modo che cinque consecutive abbiano sempre somma 13.
Dato che 2 + 0 + 1 + 6 = 9, la quinta cifra è 4.
E poi la successione continua così:
2 0 1 6 4 2 0 1 6 4 2 0 …
Le cifre si ripetono cinque a cinque… 2, 0, 1, 6, 4 e poi di nuovo 2, 0, 1, 6, 4.
Se saltiamo di cinque in cinque troviamo sempre la stessa cifra. Allora la 2016-esima cifra è uguale alla prima ed è 2.

Una sfida in più. Ora ricominciamo da capo ma chiedendo che la somma delle ultime cinque cifre sia sempre 10 (oppure 14 o un qualsiasi numero minore di 18). Qual è la 2016-esima cifra? Perché non possiamo ottenere un totale maggiore di 18?