Fra' Luca Pacioli's mathematical games

3.Dadi e anelli

Vedremo in questa sezione un altro tipo di giochi di divinazione, per i quali il matemagico si avvale di «numeri parlanti». Vi sono dei numeri che possono essere trattati come tavolette ove far incidere in cifre alla persona cui si propone il gioco ciò che vogliamo fingere di indovinare. Naturalmente questi numeri vengono trattati in modo che «parlino» solo a chi sappia interrogarli con la «parola d’ordine» opportuna – un numero anch’essa, s’intende.
L’abilità divinatoria consiste dunque nel conoscere tali numeri e nel saper trasformare domande e risposte relative alle notizie che vogliamo ottenere in linguaggio matematico. Vediamo come.

Problema 14: indovina chi ha l’anello

 |²²²r [1] Bolzone.

Uno à dato un anello fra molte persone, e sa chi l’à e in che mano e in che detto e in che nodo, ma vol che tu lo trovi per ragione. Dimando commo farai per trovarlo.

[1] Uno ha nascosto un anello fra i presenti, sa che lo ha una certa persona in una certa mano, a un certo dito e a una certa articolazione, e vuole che tu dica esattamente dov’è facendo un calcolo. Come fai?

[2] Fa’ chosì. Di’ che se gomenzi da un canto e conti fine a colui che l’à e poi se fermi, e poi di’ che redopi el numero che lui à e poi ci1 gionga 5, e poi multiplichi per 5 la summa e poi a quella multiplicatione gionga 10.

E dirai se quel tale l’à in la man destra che ci gionga 2, e se l’à in la man senestra che ci gionga 1, e facto questo dirai che multiplichi la summa per 10.
E poi dirai che se ll’à in lo primo dedo, zoè in lo grosso, che gionga uno ala summa, e se ll’à in lo secondo 2, el 3 o 3, el 4 o4, el 5 o 5, e poi dirai che multiplichi per 10 la summa.
E poi dirai che gionga el numero deli nodi, zoè se l’à nel primo nodo del deto gomenzando o de sotto o de sopra dala ponta, fa’ pur che tu te intende dove gomenza, e se ll’à in lo primo che agionga uno, se ll’à in lo secondo che agionga 2, el 3 o 3.
E facto questo dimanda quanto l’à in tutto, e tu di quella summa sempre per regola ferma e infallibile chavarane 3500 e vederai quello che te resta. Per li migliari che te restarà dirai che sieno le persone; e per li centinai la mano, e se te restasse doi centinai dirai che l’avesse la man destra e se te resta uno centinao dirai che l’abia la man senistra; e per le dicine che te restano dirai che l’abia in tal deto quante siran decine, zoè se sirà una dicina l’arà in lo primo deto, e se siran 2 dicine l’arà in lo secondo, e se siran 3 dicine l’arà in lo terzo, e se siran 4 l’arà in lo 4 o, e se siran 5 l’arà in lo quinto, et numquam fallit.

[2] Fai così. Di’ che cominciando da un punto stabilito conti fino alla persona che ha l’anello, che raddoppi il numero che ha trovato e gli aggiunga 5, poi che moltiplichi per 5 quella somma e al prodotto aggiunga 10.
Se la persona ha l’anello nella mano destra fagli aggiungere 2, se nella sinistra 1, e di’ che moltiplichi questa somma per 10.
Poi se è nel pollice fagli aggiungere 1, se nell’indice 2, se nel medio 3, per l’anulare 4 e per il mignolo 5, e fagli moltiplicare la somma per 10.
Quindi gli farai aggiungere il numero corrispondente all’articolazione, cioè se l’anello è nella prima a cominciare dalla punta del dito – oppure dalla mano, purché vi mettiate d’accordo – aggiunga 1, se nella seconda 2, se nella terza 3.
Ora domanda che numero ha calcolato, da questo sottrai come regola fissa 3500 e considera quanto rimane. Le migliaia del numero che ottieni saranno il numero corrispondente alla persona che ha l’anello, le centinaia ti indicheranno in quale mano (se avrai 2 centinaia sarà nella mano destra, se 1 nella mano sinistra), secondo le decine saprai in quale dito (se una sarà nel pollice, se 2 nell’indice, se 3 nel medio, se 4 nell’anulare, se 5 nel mignolo). [Le unità indicheranno l’articolazione] Funziona sempre.

Commento

Questo gioco, come i due successivi, si basa sulle proprietà della notazione decimale. Quando scriviamo un numero usando la notazione decimale, 4253 ad esempio, stiamo in realtà abbreviando la serie di operazioni: 4 · 1000 + 2 · 100 + 5 · 10 + 3.
Se indichiamo con p la persona che ha l’anello, con m la mano, con d il dito e con a l’articolazione, ed eseguiamo le operazioni prescritte dal gioco, otteniamo l’espressione {[(2p + 5) · 5 + 10 + m] · 10 + d} · 10 + a. Svolgendo le operazioni si ottiene l’espressione equivalente 1000p + 100m + 10d + a + 3500. È chiaro come il nostro «numero tavoletta» sia 1000, mascherato come 4500 (1000 + 3500) in modo che solo il matemagico possa leggere «in chiaro» il risultato che cerca. Se a questo punto infatti sottraiamo 3500, rimaniamo con il numero di quattro cifre (o più, se p è maggiore di 10) pmda. La prima cifra ci indicherà la persona, la seconda la mano, la terza il dito e l’ultima l’articolazione.

L’ambientazione del gioco non è casuale, ma funzionale alla praticabilità del gioco così come è concepito: se il lettore volesse provare a far nascondere un oggetto in una delle stanze di casa, ad esempio, assegnando un numero ad ogni possibile nascondiglio, non sempre riuscirebbe a indovinare altrettanto bene con questo sistema. Se p può essere un numero qualsiasi, infatti, m, d, e a devono necessariamente essere minori di 10; le mani, le dita di una mano e le articolazioni delle dita di solito soddisfano automaticamente questa condizione, e la scelta dell’anello come oggetto da nascondere diventa quasi obbligata.

[3] Verbigratia metamo che l’abia la terza persona in la man destra nel 4 odeto nello secondo nodo. Dico che redopi 3 fa 6, giognici 5 fa 11, multiplichalo per 5 fa 55, agiogni 10 farà 65; poi giognici per la man 2 perché l’à in la mano destra, farà 67, poi multiplicha per 10 fa 670; poi agiognici 4 per lo deto perché l’à in lo quarto, farà 674, poi multiplichalo | 222vper 10 farà 6740; poi agiognici 2 per lo nodo perché l’à in lo secondo nodo, farà 6742; e de questa summa chavane 3500, restarà 3242.
Per li 3 migliai dirai che l’à la terza persona, per li 2 centinai dirai che l’abia in la man destra, per le quatro dicine dirai che l’abia in lo quarto deto apresso el picholo, per lo 2, ch’è numero, dirai che l’abia in lo secondo nodo de quel deto e fie facta ech.
[4] Item quando l’avesse in la man mancha. Ponamo che l’abia la quinta persona in la man senestra e in lo terzo deto e in lo 2 o nodo. Redopia 5 fa 10, giognici 5 fa 15, multiplica per 5 fa 75, agiognici 10 fa 85; agiognici uno per la man perché è la mancha, fa 86, multiplica per 10 fa 860; poi agiognici 3 per lo deto perché l’à in lo terzo, farà 863, poi multiplicha per 10, farà 8630; agiognici 2 per li nodi farà 8632, e de questo chava 3500 che restarà 5132. Per li 5 migliai dirai che l’abia la quinta persona, per uno centinao dirai che l’abia in la man mancha, per le 3 dicine dirai che l’abia in lo 3 o deto, per li 2 numeri in lo secondo nodo, e così è facta.
[5] Sapi che pòi fare agiognere 2 per le man per qual te piaci purché tu te intenda, anzi è bello sempre variare aciò non se aprenda. Ideo tibi relinquitur.

[3] Poniamo che ce l’abbia la terza persona nella seconda articolazione dell’anulare della mano destra.
Raddoppia 3, fa 6, aggiungi 5, fa 11, moltiplicalo per 5 e fa 55, aggiungi 10 e farà 65; ora per la mano, visto che è nella destra, aggiungi 2, fa 67, moltiplica per 10 e fa 670; per il dito aggiungi 4 perché è nell’anulare, farà 674, moltiplica per 10 e fa 6740; per l’articolazione aggiungerai 2, visto che è nella seconda, e farà 6742; di qui sottrai 3500 e resterà 3242.
Dalle 3 migliaia saprai che è la terza persona, dalle 2 centinaia che lo ha nella mano destra, dalle 4 decine che è nell’anulare e dal 2 che è nella seconda articolazione, e avrai indovinato.
[4] Ora un esempio per la mano sinistra. Poniamo che ce l’abbia la quinta persona nella seconda articolazione del medio della mano sinistra.
Raddoppia 5 e fa 10, aggiungi 5 e fa 15, moltiplica per 5, farà 75, aggiungi 10 e fa 85; per la mano aggiungi 1 perché è nella sinistra, fa 86, moltiplica per 10 e fa 860; poi aggiungi 3 perché è nel medio, fa 863, moltiplica per 10 e farà 8630, per l’articolazione aggiungi 2 e farà 8632, sottrai 3500 e resterà 5132.
Dalle 5 migliaia saprai che ce l’ha la quinta persona, dal centinaio che è nella mano sinistra, dalle 3 decine che è nel medio e dalle 2 unità che è nella seconda articolazione, e avrai indovinato.
[5] Sappi che il 2 puoi farlo aggiungere per la mano che preferisci, purché tu segua il gioco di conseguenza, anzi è bello cambiare sempre in modo che non si scopra il meccanismo; e adesso sta a te.

Commento
Nella Summa de arithmetica, a conclusione della sezione dedicata alle moltiplicazioni (cc. 30v-31v), Pacioli inserisce due capitoletti in cui spiega come, attraverso delle moltiplicazioni, si possano ottenere numeri di sei o dodici cifre tutte uguali, oppure composti da serie ricorrenti di numeri a due, tre, quattro cifre e oltre (121 212 121 212, 232 323 232 323 eccetera). Riteniamo possibile che tali istruzioni servissero anche alla preparazione di giochi simili a questo.
Elenchiamo, in forma moderna, le regole assegnate in quel
Quando si vuole ottenere un prodotto P che abbia sei cifre c tutte uguali, con 1 ≤ c ≤ 9, vale P = 143c · 777. Ciò equivale a moltiplicare 111 111 · c, essendo 111 111 = 143 · 777. Si assegna anche una variante: P = [(200c + 30c) + c] · 481, vale a dire c · (200 + 30 + 1) · 481 = 111 111 · c.
Se si vuole ottenere un prodotto P tale da avere sei cifre che riproducano per tre volte il numero d, la regola data è: P = (20d + d) · 481, opportuna giacché d · (20 + 1) · 481 = 10 101 · d.
Per ottenere un prodotto P tale da avere 12 cifre che ripetano per sei o dodici volte un numero dato, è indicata la regola P : 900 911 = x che permette di trovare due fattori del numero richiesto interi e aventi lo stesso numero di cifre; in altri termini, tenendo presente il divisore 900 911, per ogni P x sarà intero, positivo e di sei cifre.