This book tells a story that concerns many essential physical ideas involving a central topic: the equilibrium, or balance. It talks about universal subjects of time or the infinity and about the ancient and the modern physical concepts as chaos or, up to the major issues of the contemporary physics.
Thanks to a fluent and simple style, full of enlightening examples and experiments, the author intertwines the historical dimension and the conceptual one, without sacrificing the scientific accuracy. He gives to every reader a deep understanding of the most charming physical ideas, in a way that does not neglect even the links with the other sciences, especially with biology.
At the end of the reading, even the beginners will understand the principles of thermodynamics, the concept of unstable equilibrium and of spontaneous symmetry breaking; but above all they will have savored the fascinating history of the ideas and the people who have given life to these concepts.
Tommaso Castellani
Equilibrium
The curious story of a physical concept
Why isn’t the perpetual motion possible? Why has the internal-combustion engine a law efficiency? Why do the simmetries in physics “break”? The answers to these and other questions involve the idea of equilibrium, that is essential for modern physics.
- Series: ScienzaFACILE
Subject: Science
Year: 2013
Month: june
Format: 14 x 21 cm
Pages: 184
Introduzione
1. Una storia antica
L’attimo fuggente
Il fluire del tempo affascina gli antichi, in particolare l’idea che il tempo sia composto di «attimi» dà vita ai paradossi di Zenone. Sulla natura del tempo si sofferma Aristotele. Ritroviamo questa idea di «immortalare l’attimo» nell’uso della variabile tempo nelle equazioni della fisica moderna: i sistemi che non cambiano nel tempo, che sono cioè in equilibrio, avranno un ruolo particolare.
Archimede l’equilibrista
È Archimede il primo a occuparsi di equilibrio in modo scientifico (a quanto risulta dai documenti giunti sino a noi). Oltre ai celebri princìpi della leva, Archimede usa in maniera sorprendente il concetto di equilibrio per calcolare le aree e i volumi dei solidi. L’eredità di Archimede è centrale nella storia della matematica e della scienza.
2. Equilibrio meccanico
Le forze e il moto
Aristotele è convinto che per far muovere gli oggetti sia necessaria una forza. Bisogna aspettare il XVII secolo per avere chiara l’idea che una forza ha l’effetto di cambiare il moto. Questa rivoluzione, iniziata da Galileo e conclusa da Newton, ci permette di studiare il problema dell’equilibrio da un punto di vista nuovo, e cioè come analisi della forza cosiddetta «risultante» su un sistema.
Equilibri stabili e instabili
Un equilibrio può essere stabile o instabile. Un esempio del primo è il «problema dei due corpi», di cui vedremo le applicazioni. Possiamo spiegare per esempio come facciamo a lanciare un satellite geostazionario, che sembri cioè fermo sopra la nostra testa. L’equilibrio instabile invece «c’è ma non si vede», per definizione.
La meccanica classica
Il concetto di «baricentro», già noto ad Archimede, nella meccanica di Newton diventa centrale. Di sistemi anche molto complicati si può studiare la condizione di equilibrio. Ma non basta considerare le forze: occorre considerare anche i loro momenti. La meccanica classica si riduce così a un’analisi delle forze agenti sul baricentro di un sistema e dei momenti delle forze su di esso applicati. Il grande successo della meccanica induce il paradigma meccanicista, che genera grandi interrogativi filosofici sul libero arbitrio.
Nel caos
A partire dal celebre «problema dei tre corpi», vediamo come l’instabilità compare in modo inatteso e genera un comportamento cosiddetto «caotico»: non è più possibile prevedere l’andamento futuro del sistema dopo un certo tempo.
3. Equilibrio dinamico
Il sogno del moto perpetuo
Ci sono sistemi che sono in equilibrio pur non essendo fermi: si parla allora di equilibrio dinamico. In questo caso diventano cruciali le cosiddette «quantità conservate». Il sogno di un sistema in equilibrio e in movimento, il cosiddetto moto perpetuo, si rivela però impossibile da realizzare.
Lupi e conigli
Date due popolazioni, una di prede e una di predatori, la loro estensione cambia in continuazione e in maniera correlata: quando le prede scarseggiano i predatori muoiono di fame, le prede aumentano di nuovo e i predatori ritrovano abbondanza di cibo, e così via. Un equilibrio ecologico è però molto difficile da descrivere, e il suo ruolo nella teoria dell’evoluzione non è ancora ben chiaro.
Equilibrio termico
La termodinamica nasce per spiegare i fenomeni relativi al calore. Sulla natura del calore ci si interroga sin dall’antichità, ma solo nell’Ottocento si riesce a darne una spiegazione soddisfacente. La teoria si basa sull’ipotesi che tutti i sistemi studiati si trovino in equilibrio, eppure riesce a spiegare una grande varietà di fenomeni reali, anche apparentemente molto lontani da questa condizione.
Uno sguardo d’insieme
La termodinamica è una teoria fisica che ha numerosi aspetti nuovi, occupandosi per la prima volta di sistemi collettivi. Inoltre produce alcuni grandi interrogativi epistemologici.
4. Equilibrio e caso
Il mistero della freccia del tempo
Le leggi della fisica newtoniana sono tutte simmetriche rispetto al tempo: i fenomeni classici infatti sono tutti reversibili. Possiamo chiamare reversibile un fenomeno che, se filmato e rivisto all’indietro, è ancora descritto dalle stesse leggi fisiche (magari con qualche piccola modifica). I fenomeni termodinamici reali non sono invece quasi mai reversibili: se mescoliamo due sostanze omogenee, non si separano più. Da dove nasce l’irreversibilità del tempo?
La forza del caso
Uno dei concetti base della termodinamica è l’equilibrio termico, cioè il fatto che due corpi a contatto raggiungano la stessa temperatura. Si vede che questa che sembra essere una legge fondamentale della fisica è in realtà «soltanto» il risultato dell’azione del caso. Il caso conduce all’omogeneità: l’equilibrio termico è il risultato più probabile.
Entropia
Con l’approccio statistico alla termodinamica i fisici introducono la quantità «entropia» per misurare l’omogeneità di un sistema. L’entropia è una grandezza centrale nel rapporto tra il «macro» e il «micro» e nella definizione di equilibrio.
La fine del mondo
Poiché l’entropia è una grandezza che aumenta sempre in un sistema isolato, il futuro dell’Universo è l’equilibrio termico: questo è in sostanza il contenuto del secondo principio della termodinamica. Di tutte le stelle, le galassie, i buchi neri non resterà allora che una massa informe a temperatura bassissima?
5. Rottura dell’equilibrio
I fenomeni critici
I primi fenomeni lontani dall’equilibrio che i fisici cominciano a studiare sono le cosiddette «transizioni di fase», ad esempio la trasformazione dell’acqua in ghiaccio. Questi fenomeni sono caratterizzati da un brusco passaggio da una fase all’altra.
La simmetria e la sua rottura
Nel momento in cui avviene una transizione di fase, il meccanismo effettivo della trasformazione è ancora regolato dal caso. Un magnete è un esempio di sistema simmetrico che a un certo punto perde la sua simmetria in maniera casuale: si parla allora di «rottura spontanea di simmetria». Così come una pallina tende a cadere sul fondo di una buca, anche un sistema magnetico tende a raggiungere la condizione di minore energia.
Sistemi disordinati
Alcuni materiali, come i vetri e i vetri di spin, hanno caratteristiche molto particolari: presentano rotture di simmetria molto complesse. La complessità rende molto difficile raggiungere il minimo dell’energia, e si ha un equilibrio cosiddetto «metastabile».
6. Lontano dall’equilibrio
Oltre l’equilibrio
Un vetro è un sistema lontano dall’equilibrio: in realtà vi si avvicina molto lentamente, ma lo raggiungerà in un tempo che supera la vita umana. Così si verificano strani fenomeni come la «memoria» o il cosiddetto «invecchiamento». Interessanti modelli matematici spiegano questi comportamenti.
Una nuova fisica?
La meccanica statistica, come tutta la fisica, ha sempre studiato l’equilibrio, considerando le transizioni di fase come occasionali «singolarità». Una branca nuova della fisica sta nascendo in questi anni: la meccanica statistica fuori dall’equilibrio. Da quando fisici e matematici studiano sistemi lontani dall’equilibrio, queste discipline stanno trovando nuovi punti di contatto con la biologia. C’è chi propone che la matematica per la biologia debba rifondarsi su un paradigma di non equilibrio.
Bibliografia
Archimede l’equilibrista
La bilancia della giustizia
La parola italiana equilibrio deriva dal latino aequilibrium, composto di aequus, uguale, e di libra, bilancia. Anche in greco c’è una parola analoga. La bilancia a due piatti che non pende né da una parte né dall’altra è l’archetipo dell’equilibrio. Oggi la esponiamo nei tribunali come rappresentazione della giustizia.
In effetti, la bilancia a due piatti era il simbolo della giustizia fin dall’Antico Egitto. Sul Papiro di Ani, conservato al British Museum, vediamo la dea Maat, rappresentante dell’equilibrio cosmico, che giudica i morti con una bilancia: sul primo piatto mette una piuma di struzzo, sul secondo il cuore del defunto.
Se la bilancia resta in equilibrio, l’anima è salva. Anche la dea greca della giustizia, Dike o Astrea, è rappresentata con una bilancia. In una delle versioni del mito, Dike scende sulla terra a distribuire la giustizia ma, disgustata dagli uomini, se ne torna in cielo, e diventa la costellazione della Vergine.
Nell’antichità, di equilibrio si è parlato per molto tempo solo relativamente all’etica e alla politica. Aristotele si sofferma sull’importanza del «giusto mezzo» per raggiungere la virtù, raccomandando equilibrio tra le «estreme passioni». Tra essere coraggiosi ed essere pavidi, per esempio, consiglia di porsi nel mezzo. In politica, oggi lo definiremmo un «moderato». L’idea che «la virtù sta nel mezzo» è del resto molto antica e vi troviamo numerosi riferimenti già nelle opere di Eschilo: nell’Agamennone a un certo punto compare la dea Dike in persona con la bilancia in mano. Anche la medicina ai tempi di Aristotele si basava sullo stesso principio: il mantenimento della salute era assicurato dal giusto equilibrio tra gli eccessi. Mangiare troppo o mangiare troppo poco erano comportamenti da evitare. Come si vede, nella dietetica non abbiamo fatto poi tutti questi progressi.
Ma ora mettiamo da parte la mitologia e la politica perché è arrivato il momento di introdurre uno dei più grandi scienziati della storia dell’umanità, che è poi forse anche il primo.
Di sicuro è il primo di cui ci siano pervenute opere sul tema dell’equilibrio dal punto di vista scientifico. Stiamo parlando di Archimede di Siracusa.
Datemi una leva
Archimede visse nell’allora città greca di Siracusa nel III secolo a.C. Oggi il suo nome è associato a frasi come «Eureka!» o «datemi una leva e vi solleverò il mondo» (più esattamente avrebbe detto, stando a quanto riportano autori antichi, «datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo»). Aneddoti a parte, il suo contributo al pensiero scientifico è in realtà di enorme portata.
La leva altro non è che la generalizzazione della bilancia a piatti ricordata nella pagina precedente. Per la bilancia, è evidente che l’equilibrio si raggiungerà solo se il contenuto dei due piatti ha lo stesso peso (talmente evidente che i fisici moderni hanno deciso di usare questa constatazione come definizione di «stesso peso», invertendola; si dice dunque oggi che se due oggetti stanno in equilibrio su una bilancia a piatti allora hanno lo stesso peso. I fisici amano molto scherzetti di questo genere).
Se però i due bracci della bilancia non sono di uguale lunghezza, cosa succede? È un peccato che le stadere dei fruttivendoli siano oggi quasi scomparse. Prima di tutto erano molto belle, poi illustravano il principio della leva in modo lampante.
Per chi non lo sapesse, una stadera è una bilancia con un piatto solo e un lungo braccio graduato sul quale scorre un peso equilibratore. Così come sull’altalena basculante (nei parchi giochi, quella in cui mentre uno sale spingendosi con le gambe, l’altro scende) ci si può spostare avanti e indietro per mettersi in equilibrio con una persona che pesa più o meno di noi, il fruttivendolo spostava il peso di ferro fino a metterlo in equilibrio con la frutta. Giocando un po’ con la stadera, qualunque fruttivendolo può ricavare la regola fondamentale della leva, che Archimede aveva già enunciato in maniera rigorosa: per ottenere l’equilibrio, la distanza dal fulcro deve essere inversamente proporzionale al peso. Vediamo cosa vuol dire.
Il fulcro è il punto in cui è imperniata la bilancia: il sostegno dell’altalena basculante o il gancio tenuto dalla mano del fruttivendolo. Inoltre, due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando l’aumento dell’una è proporzionale alla diminuzione dell’altra. Dunque, se abbiamo due pesi e uno è il doppio dell’altro, per farli stare in equilibrio dovremo mettere quello che pesa di meno a una distanza dal fulcro doppia rispetto all’altro. Se i pesi sono uno il triplo dell’altro, il minore dovrà stare a una distanza dal fulcro pari a tre volte quella del peso maggiore, e così via. È abbastanza intuitivo.
Supponiamo ora di avere un’asta con due pesi legati alle due estremità. Come facciamo a farla stare in equilibrio appoggiandola su una mano? Questa volta non possiamo spostare i pesi, ma possiamo spostare il fulcro in modo da verificare la condizione di Archimede. Se i due pesi sono uguali, l’appoggeremo allora esattamente nel mezzo. Se i due pesi sono uno il doppio dell’altro, dovremo appoggiarla in un punto tale che la lunghezza dalla parte del peso minore sia il doppio della lunghezza dalla parte del peso maggiore. Se i due pesi sono uno il triplo dell’altro, la lunghezza dalla parte del minore dovrà essere tre volte quella dalla parte del maggiore. Facciamo un esempio numerico in quest’ultimo caso: se l’asta è lunga 1 metro, la soluzione del problema è mettere il fulcro a 25 cm dall’oggetto più pesante. In questo modo, dall’altra parte restano 75 cm, che è tre volte 25. Basta prendere dimestichezza con le proporzioni e diventa tutto molto semplice.
Il punto in cui l’asta, appoggiata, resta in equilibrio, viene chiamato baricentro dell’asta (cioè, dal greco, centro del peso).
Trovare il baricentro di un oggetto è un problema molto importante, a cui Archimede dedica ampio spazio. Per l’asta, la soluzione è semplice. Per oggetti di forma irregolare, il calcolo diventa più complicato. Però ogni oggetto ha un baricentro: un punto, cioè, su cui possiamo appoggiarlo – almeno in teoria – per farlo stare in equilibrio. Ne parleremo tra un attimo.
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